解答题设函数f(x)=-x3+mx2+x,g(x)=mx2-x+c,F(x)=xf(x

2022-06-11 21:33 · rilila.com
网友回答解:(Ⅰ)求导函数∵函数y=f(x)在x=2处有极值,∴∴m=;(Ⅱ)?由题意y=F′(x)=f(x)+xf′(x)=-x3+mx2+x==mx2-x+c,即令,∴h′(x)=-x2+4令h′(x)=-x2+4>0,可得-2<x<2;令h′(x)=-x2+4<0,可得x<-2,或x>2;∴函数的单调增区间为(-2,2),单调减区间为(-∞,-2),(2,+∞)∴x=-2时,函数取得极小值为;x=2时,函数取得极大值为∴当极小值大于0或极大值小于0,即或,即或时,方程有唯一解;当极小值或极大值等于0,即时,方程有两个解;当极小值小于0且极大值大于0,即时,方程有三个解;(Ⅲ)由(Ⅱ)?知F′(x)=,∴F″(x)=-x2+mx+3令F″(x)>0,∴-x2+mx+3>0,∴x2-mx-3<0要使存在实数m∈[-2,2],使得函数F(x)在(a,b)上为“凹函数”,则b-a取得最大时,b,a是方程x2-mx-3=0的根,∴b+a=m,ba=-3∴(b-a)2=m2+12∴b-a最大值为.解析分析:(Ⅰ)求导函数,利用函数y=f(x)在x=2处有极值,可得,从而可求实数m的值;(Ⅱ)?由题意y=F′(x)=f(x)+xf′(x)=-x3+mx2+x==mx2-x+c,即,构造函数,确定函数的单调区间,从而可得函数的极值,进而分类讨论,即可得到方程y=F′(x)=g(x)的实数解的个数;(Ⅲ)由(Ⅱ)?知F′(x)=,所以F″(x)=-x2+mx+3,利用新定义,即可求得b-a最大值.点评:本题重点考查导数知识的运用,考查函数的极值,函数的单调性,考查方程解的讨论,同时考查新定义,综合性较强.

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