解答题已知x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)判断f(x)的奇偶性;(2

2022-06-11 08:13 · rilila.com
网友回答(1)解:∵x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)令x=y=0,得f(0)=0;又令y=-x得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0所以f(-x)=-f(x),因此f(x)是R上的奇函数;…(4分)(2)证明:设x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0即f(x2)>f(x1),因此f(x)在R上为增函数;…(9分)(3)解:∵f(1)=2,∴f(2)=2f(1)=4…(11分)由f(x2+1)-f(2x+5)<4,可得f(x2+1)<f(2x+5)+f(2)∴f(x2+1)<f(2x+7)由(2)可得x2+1<2x+7,即x2-2x-6<0解得…(14分)解析分析:(1)利用条件x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y),分别赋值,令x=y=0,及y=-x,利用奇函数的定义可得结论;(2)根据单调性的证题步骤:取值、作差、变形、定号、下结论,即可证明;(3)先计算f(2)=2f(1)=4,再将抽象函数不等式转化为具体不等式,解不等式,即可得出结论.点评:本题重点考查抽象函数的性质证明与运用,考查赋值法的运用,考查学生分析解决问题的能力.

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