解答题设集合W由满足下列两个条件的数列{an}构成:①;②存在实数M,使an≤M.(?

2022-06-10 16:29 · rilila.com
网友回答解:(Ⅰ)对于数列{an},当n=1时,=a2,显然不满足集合W的条件①,故{an}不是集合W中的元素.(2分)对于数列{bn},当n={1,2,3,4,5}时,不仅有,,,而且有bn≤5,显然满足集合W的条件①②,故{bn}是集合W中的元素.(4分)(Ⅱ)∵{cn}是等差数列,Sn是其前n项和,c3=4,S3=18,设其公差为d,∴c3-2d+c3-d+c3=18,∴d=-2∴cn=c3+(n-3)d=-2n+10,Sn=-n2+9n(7分)∵,∴;∵,∴Sn的最大值是S4=S5=20,即Sn≤S4=20.∴{Sn}∈W,且M的取值范围是[20,+∞)(9分)(Ⅲ)证明:∵{dn}∈W,∴,整理dk+2<dk+1+(dk+1-dk)=dk+1+(dk+1-M),∵dk=M,∴dk+1≤M,∴dk+2<dk+1;又∵,∴dk+3<dk+2+(dk+2-dk+1)<dk+2,∴dk+1>dk+2>dk+3.(14分)解析分析:(Ⅰ)要判断数列不为集合中的元素,只需要在数列中找一个元素不是集合中的元素即可.要判断数列为集合中的元素,需要严格证明,对于数列{bn},当n?{1,2,3,4,5}时,看数列{bn}是否满足集合W的条件①②即可.(Ⅱ)是证明题.要证明数列{Sn}∈W,首先利用题中的条件:{cn}是等差数列,Sn是其前n项和,c3=4,S3=18确定出数列{Sn},然后再证明满足①②即可.(Ⅲ)也是证明题.要求证dk+1>dk+2>dk+3,数列{dn}∈W所以满足W的两个条件,得到.整理得dk+2<dk+1+(dk+1-dk)=dk+1+(dk+1-M),因为dk=M,得到dk+1≤M,即dk+2<dk+1;又因为,得到dk+3<dk+2+(dk+2-dk+1)<dk+2,整理可得证.点评:此题考查运用题中定义的函数解决问题的能力,以及数列与集合关系的判断.

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