解答题已知多项式.(1)求f(1)及f(-1)的值;(2)试探求对一切整数n,f(n)

2022-06-10 16:52 · rilila.com
网友回答解:(1)∵,∴f(1)=1;?f(-1)=0.(2)对一切整数n,f(n)一定是整数.证明如下:(10)先用数学归纳法证明:对一切正整数n,f(n)是整数.①当n=1时,f(1)=1,结论成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即是整数,则当n=k+1时,==f(k)+k4+4k3+6k2+4k+1,根据假设f(k)是整数,而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数,故f(k+1)是整数,从而当n=k+1时,结论也成立.由①、②可知对对一切正整数n,f(n)是整数.…(7分)(20)当n=0时,f(0)=0是整数.…(8分)(30)当n为负整数时,令n=-m,则m是正整数,由(1)f(m)是整数,所以==-f(m)+m4是整数.综上,对一切整数n,f(n)一定是整数.…(10分)解析分析:(1)根据 ,直接求出f(1)和f(-1)的值.(2)对一切整数n,f(n)一定是整数.(10)先用数学归纳法证明:对一切正整数n,f(n)是整数.再证n=0时,f(0)是整数,再证当n为负整数时,令n=-m,m是正整数,证明f(-m)是整数,从而命题得证.点评:本题主要考查二项式定理、用数学归纳法证明数学命题,推出当n=k+1时命题也成立,是解题的关键和难点,体现了分类讨论的数学思想,属于难题.

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