解答题若实数a>0且a≠2,函数f(x)=ax3-(a+2)x2+2x+1.(1)证明

2022-06-10 09:17 · rilila.com
网友回答解:(1)由已知可得:???(2分)当a>2时,自变量x,以及f(x),f′(x)的变化情况如下表:x?????????????????????1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)增极大值减极小值增∴函数在x=1处取得极值,f(x)的单调递增区间是,(1,+∞)单调递减区间是??(4分)当0<a<2时自变量x,以及f(x),f′(x)的变化情况如下表:x(-∞,1)1?f′(x)+0-0+f(x)增极大值减极小值增∴函数f(x)在x=1处取得极值,f(x)的单调递增区间是(-∞,1)和,单调递减区间是???(6分)(2)因为f(0)=1,由(1)知要使在区间(0,+∞)上至少存在一点x0,使得f(x0)<1成立,只需在区间(0,+∞)上f(x)极小值<1即可???(8分)当a>2时,f(x)极小值=f(1)=2-<1,所以a>6当0<a<2时,恒成立,所以综上所述,实数a的取值范围为??(12分)解析分析:(1)可以求出函数的导数,利用导数研究单调区间,对于含有一个参数的单调区间问题,要注意讨论参数a的情况,即:0<a<2和a>2来进行讨论,要对x,以及f(x),f′(x)的变化情况表列正确.(2)本题可以转化为函数f(x)在区间(0,+∞)上f(x)极小值<1即可解答,可以利用(1)的结论,注意对参数a的讨论.点评:本题考查函数的导数及其应用,求函数的极值,判断函数取得极值的条件以及应用,利用导数研究含一个参数a的函数的单调区间问题,考查了分类讨论思想.

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