解答题已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x

2022-06-08 21:48 · rilila.com
网友回答解:(I)令x=y=0∵f(x+y)=f(x)+f(y)+1,∴f(0)=f(0)+f(0)+1∴f(0)=-1,在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,∵当x>0时、f(x)>-1,∴f(x1-x2)>-1则f(x1)=f[(x1-x2)+x2],=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),∴f(x)在R上是单调增函数.(II)由f(1)=1得:f(2)=3,f(3)=5,则关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)>4可化为关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)+1>5,即关于x的不等式;f(x2+x+1)>f(3),由(I)的结论知f(x)在R上是单调增函数,故x2+x+1>3,解得:x<-2或x>1,故原不等式的解集为:(-∞,-2)∪(1,+∞).解析分析:(I)根据已知条件中,:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时、f(x)>-1;令x=y=0,即可求出f(0)的值,在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,根据f(x1)=f[(x1-x2)+x2],结合已知条件,即可判断函数的单调性;(II)若f(1)=1,则我们易将关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)>4化为f(x2+x+1)>f(3),结合(I)的结论,可将原不等式化为一个一元二次不等式,进而得到

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