解答题已知向量,当x>0时,定义函数.(1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)

2021-09-10 21:27 · rilila.com
网友回答解:由题意得(x>0)令x=tanα,则由于,所以,即函数f(x)的值域为(0,1)(1)由y2-2xy+x2=y2+y2x2于是解得,所以原函数的反函数(0<x<1)(2)因为a1=a>0,an+1=f(an),n∈N*,所以①【法一】三角代换????令an=tanαn,因为an>0,且a1=1所以所以由于,所以故数列{αn}为等比数列,其首项为,公比为,所以于是,此处用到不等式x<tanx【法二】不等式放缩????因为an+1=f(an),所以an=f-1(an+1)所以,又由原函数的值域知an+1∈(0,1)所以,则进而,所以于是②【法一】,所以=由Sn<2a,则易得,又Sn>0则要证或等价于证明化简等价于,此式在0<Sn<2a的条件下成立;【法二】因为an+1=f(an),所以an=f-1(an+1)所以,从而从而Sn<2a.则易得,又Sn>0则要证或等价于证明化简等价于,此式在0<Sn<2a的条件下成立;解析分析:(1)由题意得,令x=tanα,则,函数f(x)的值域为(0,1).由此能求出原函数的反函数.(2)因为a1=a>0,an+1=f(an),n∈N*,所以.①【法一】三角代换:令an=tanαn,因为an>0,且a1=1所以,所以,由此能够证明.【法二】不等式放缩:因为an+1=f(an),所以an=f-1(an+1),故,又由原函数的值域知an+1∈(0,1),所以,则,由此能够证明.②【法一】,所以=.由Sn<2a,能够证明证明或.【法二】因为an+1=f(an),所以an=f-1(an+1),所以,从而.由Sn<2a,能够证明证明或.点评:本题考查数列的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,合理地运用三角函数知识,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.

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