解答题长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,,P、Q分别是CD1和A1A的中点

2021-09-07 14:39 · rilila.com
网友回答证明:(1)取CD中点M,连接AM、PM.∵P、Q分别是CD1和A1A的中点,∴,,…(2分)∴PM∥AQ,PM=AQ,可得四边形AMPQ是平行四边形,∴PQ∥AM,…(5分)又∵AM?平面ABCD,PQ?平面ABCD,∴PQ∥平面ABCD.…(7分)(2)∵AD=1,,,∴AD2=AB?DM,可得△ADM~△BAD,∴∠DAM=∠ABD=90°-∠ADB,∴AM⊥BD,结合PQ∥AM,可得PQ⊥BD,…(10分)又∵ABCD-A1B1C1D1是长方体,∴B1B⊥平面ABCD,∵AM?平面ABCD,∴B1B⊥AM,∵AM∥PQ,∴PQ⊥B1B,…(12分)又∵BD∩B1B=B,BD、BB1?平面BB1D1D,∴PQ⊥平面BB1D1D,∵PQ?平面DPQ,∴平面DPQ⊥平面BB1D1D.…(14分)解析分析:(1)取CD中点M,连接AM、PM.利用三角形中位线定理并结合长方体的性质,可得四边形AMPQ是平行四边形,可得PQ∥AM,最后利用线面平行的判定定理,可得PQ∥面ABCD;(2)根据平面几何相似三角形的判定,可得AM⊥BD,结合PQ∥AM可得PQ⊥BD.由线面垂直的性质定理,得到PQ⊥平面BB1D1D,进而得到平面DPQ⊥平面BB1D1D.点评:本题在长方体中,求证线面平行并且证明面面垂直,着重考查了平面与平面垂直的判定和直线与平面平行的判定等知识,属于中档题.

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