解答题已知函数f(x)=ax3+bx2在点(3,f(3))处的切线方程为12x+2y-

2021-09-06 14:31 · rilila.com
网友回答(Ⅰ)解:将x=3代入直线方程得,∵点(3,f(3))在函数f(x)=ax3+bx2的图象上,∴①由f"(x)=3ax2+2bx,f"(3)=-6,∴27a+6b=-6②联立①②,解得.∴;(Ⅱ)解:由f"(x)=-x2+x,∴对任意的x∈[0,+∞),f"(x)≤kln(x+1)恒成立,即-x2+x≤kln(x+1)在x∈[0,+∞)上恒成立;也就是x2-x+kln(x+1)≥0在x∈[0,+∞)恒成立;设g(x)=x2-x+kln(x+1),g(0)=0,∴只需对于任意的x∈[0,+∞)有g(x)≥g(0)即可.设h(x)=2x2+x+k-1,(1)当△=1-8(k-1)≤0,即时,h(x)≥0,∴g"(x)≥0,∴g(x)在[0,+∞)单调递增,∴g(x)≥g(0)(2)当△=1-8(k-1)>0,即时,设是方程2x2+x+k-1=0的两根且x1<x2由,可知x1<-,要使对任意x∈[0,+∞)有g(x)≥g(0),只需,即k-1≥0,∴k≥1,∴综上分析,实数k的最小值为1.(Ⅲ)证明:因为当k=1时,有f"(x)≤kln(x+1)恒成立,即-x2+x≤ln(x+1),也就是x≤x2+ln(x+1)在x∈[0,+∞)恒成立;令,得.∴≤==.∴原不等式得证.解析分析:(Ⅰ)由点(3,f(3))在切线上,可求点的纵坐标,又在曲线上,把求得的点的坐标代入曲线方程可得一个关于a,b的方程,再根据函数在点(3,f(3))处的切线的斜率列关于a,b的第二个方程,联立后即可求得a,b的值,则函数解析式可求;(Ⅱ)求出函数的导函数后代入f′(x)≤kln(x+1),把对任意的x∈[0,+∞),f′(x)≤kln(x+1)恒成立转化为x2-x+klnx≥0在x∈[0,+∞)恒成立,引入辅助函数g(x)=x2-x+kln(x+1),而g(0)=0,则问题转化为函数g(x)=x2-x+kln(x+1)在[0,+∞)上为增函数,求k的值.把函数g(x)求导后,通过满足导函数在[0,+∞)上恒大于等于0可求实数k的取值范围.(Ⅲ)当k=1时,(Ⅱ)中的结论变为-x2+x≤ln(x+1),也就是x≤x2+ln(x+1)在x∈[0,+∞)恒成立,取后利用对数式的性质展开,作和后先放缩再裂项,整理即可得到结论.点评:本题考查了利用导数研究函数的切线方程问题,在曲线上某点处的切线的斜率就是该点的导数值,考查了导数在最大值和最小值中的应用,体现了数学转化思想和分类讨论的数学思想.特别是(Ⅲ)的证明,用到了放缩法和裂项相消,此题属难度较大的题目.

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