解答题求经过点P(3,1)且与圆x2+y2=9相切的直线方程.

2021-09-06 10:35 · rilila.com
网友回答解:解法一:当过点P的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为k,由点斜式可得切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,∴=3,解得k=-.故所求切线方程为-x-y+4+1=0,即4x+3y-15=0.当过点P的切线斜率不存在时,方程为x=3,也满足条件.故所求圆的切线方程为4x+3y-15=0或x=3.解法二:设切线方程为y-1=k(x-3),与圆的方程联立,消去y并整理得(k2+1)x2-2k(3k-1)x+9k2-6k-8=0.因为直线与圆相切,所以△=0,即[-2k(3k-1)]2-4(k2+1)(9k2-6k-8)=0.解得k=-,所以切线方程为4x+3y-15=0.又过点P(3,1)与x轴垂直的直线x=3也与圆相切,故所求圆的切线方程为4x+3y-15=0或x=3.解析分析:解法一:将点P(3,1)代入圆的方程得32+12=10>9,所以点P在圆外,可设过点P的圆的切线斜率为k,写出点斜式方程再化为一般式.根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质,由点到直线的距离公式列出含k的方程,由方程解得k,然后代回所设切线方程即可.解法二:直线与圆相切,就是直线与圆有唯一公共点,于是将两曲线方程联立所得的方程组有唯一解,从而方程判别式△=0,由此解得k值,然后回代所设切线方程即可.点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查切线方程.若点在圆外,所求切线有两条,特别注意当直线斜率不存在时的情况,不要漏解.

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