解答题已知函数.(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意的,求实数m

2021-09-06 09:31 · rilila.com
网友回答解:(1)当a=2时,f(x)=,定义域为(-,+∞).f′(x)=2x-2+=2x-2+=.由f′(x)>0,得,或x>;由f′(x)<0,得0<x<.所以函数f(x)的单调递增区间为(,0),(,+∞),单调递减区间为(0,).(2)y=f(x)的定义域为(-,+∞).f′(x)=2x-a+=2x-a+==.当1<a<2时,-1==<0,即,所以当1<x<2时,f′(x)>0,f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=1-a+ln().依题意,对任意的a∈(1,2),当x0∈[1,2]时,都有f(x0)>m(1-a2),即可转化为对任意的a∈(1,2),1-a+ln()-m(1-a2)>0恒成立.设g(a)=1-a+ln()-m(1-a2)(1<a<2).则g′(a)=-1++2ma==,①当m≤0时,2ma-(1-2m)<0,且>0,所以g′(a)<0,所以g(a)在(1,2)上单调递减,且g(1)=0,则g(a)<0,与g(a)>0矛盾.②当m>0时,g′(a)=,若,则g′(a)<0,g(a)在(1,2)上单调递减,且g(1)=0,g(a)<0,与g(a)>0矛盾;若1<<2,则g(a)在(1,)上单调递减,在(,2)上单调递增,且g(1)=0,g(a)<g(1)=0,与g(a)>0矛盾;若,则g(a)在(1,2)上单调递增,且g(1)=0,则恒有g(a)>g(1)=0,所以,解得m,所以m的取值范围为[,+∞).解析分析:(1)当a=2时,求出f(x),在定义域内解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可;(2)对任意的a∈(1,2),当x0∈[1,2]时,都有f(x0)>m(1-a2),等价于f(x0)min>m(1-a2),用导数可求f(x0)min,构造函数g(a)=f(x0)min-m(1-a2)(1<a<2),问题转化为g(a)min>0(1<a<2),分类讨论可求出m的取值范围.点评:本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,考查分类讨论思想的运用.

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