解答题已知Sn为数列{an}的前项和,且Sn=2an+n2-3n-2,n=1,2,3…

2021-09-04 22:15 · rilila.com
网友回答解:(Ⅰ)∵Sn=2an+n2-3n-2∴Sn+1=2an+1+(n+1)2-3(n+1)-2∴an+1=2an-2n+2∴an+1-2(n+1)=2(an-2n)∴{an-2n}是以2为公比的等比数列.(II)a1=S1=2a1-4,∴a1=4,∴a1-2×1=4-2=2∴an-2n=2n,∴an=2n+2n?…5分当n为偶数时,Pn=b1+b2+b3+…+bn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=-(2+2×1)-(23+2×3)-…-(2n-1+2(n-1)+(22+2×2)+(24+2×4)+…+(2n+2×n)=-+n=?(2n-1)+n???????? …7分当n为奇数时,Pn=--(n+1)…9分综上,Pn=…10分(III)cn==,当n=1时,T1=<;当n≥时,Tn=+++…+<+++…+=+=+-=-<<.综上可知,任意n∈N*,Tn<.…14分解析分析:(I)将Sn=2an+n2-3n-2利用数列中an,Sn的关系进行转化构造出新数列{an-2n},再据其性质证明.(Ⅱ)将(I)中所求的an代入bn,分组求和法求和.(III)由于cn==,从而得出:当n=1时,T1=<;当n≥时,Tn=+++…+<+++…+利用等比数列的求和公式结合放缩法即可得到证明.点评:本题考查等比数列的判断、数列求和,转化,计算的能力.

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