解答题设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合:①对任意n∈N+,≤an+1

2021-09-04 09:34 · rilila.com
网友回答解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差是d,则,解得,(2分)∴Sn=na1+d=-n2+9n,∴-Sn+1====-1<0∴得<Sn+1,适合条件①.(5分)又Sn=-n2+9n=-+,∴所以当n=4或n=5时,Sn取得最大值20,即Sn≤20,适合条件②.(7分)综上,{Sn}∈W.(8分)(Ⅱ)∵=5(n+1)-2n+1-5n+=5-2n,∴当n≥3时,bn+1-bn<0,此时数列{bn}单调递减;(11分)当n=1,2时,bn+1-bn>0,即b1<b2<b3,(12分)因此数列{bn}中的最大项是b3=7,(13分)∴M≥7,即M的取值范围是[7,+∞).(14分)解析分析:(Ⅰ)首先由已知a3=4,S3=18再根据an=a1+(n-1)d,可求出a1、d及Sn,然后根据等差数列的求和公式求出sn,比较得的正负,看是否符合条件①;再由Sn的公式判断是否符合条件②;若都否和,则{Sn}∈W.(Ⅱ)首先根据已知条件{bn}∈W知{bn}符合条件②,故必须求出{bn}的最大值,因而由bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+=5-2n,当n≥3时,bn+1-bn<0,此时数列{bn}单调递减,当n=1,2时,bn+1-bn>0,b1<b2<b3,因此可以得出数列{bn}中的最大项是b3=7,进而可知M≥7.点评:本题主要考等差数列的公式及等差数列和的公式的应用以及集合之间的关系和最值问题,属于中档题.

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