解答题定义在实数集R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数.(1)试判断并证

2021-09-03 22:39 · rilila.com
网友回答解:(1)f(x)在(-∞,0)是单调减函数(2分)设x1<x2<0,则-x1>-x2>0,∵f(x)在(0,+∞)是单调增函数∴f(-x1)>f(-x2),又∵f(x)是偶函数,∴f(x1)>f(x2)∴f(x)在(-∞,0)是单调减函数(8分)(2)由f(x)是偶函数,f(1)<f(|lgx|)又f(x)是(0,+∞)上的单调增函数∴|lgx|>1;(11分)∴lgx>1或lgx<-1∴x>10或0<x<为所求x的取值范围.(14分)解析分析:(1)设x1<x2<0,则-x1>-x2>0,由f(x)在(0,+∞)是单调增函数从而有f(-x1)>f(-x2),再由f(x)是偶函数,得到f(x1)>f(x2)由定义得证.(2)通过f(x)是偶函数,将模型转化为:f(1)<f(|lgx|),再利用f(x)是(0,+∞)上的单调增函数求解.点评:本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合运用,还考查了转化思想,属中档题.

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